Varianz in Echtzeit ermitteln
Die Prozessparameter cp, cpk, cm, cmk werden auf Basis der Varianz und Standardabweichung berechnet.
Da die Prozesskontrolle in der Produktion on-line erfolgen soll, ist die Berechnung der Varianz auch in Echtzeit zu ermitteln..
Änderung der Varianz von Prüfling zu Prüfling
Da sich der Wert von Prüfling zu Prüfling verändert, müssten alle vorherigen Berechnungen neu gemacht werden.
Die Berechnung des neuen Mittelwertes ist noch relativ einfach, da nur zu der Summe der n-1 Werte der neue Wert von n hinzugerechnet werden und dann durch die neue Prüflingsanzahl n dividiert werden muss.
Jetzt müssen aber mit allen n Messwerten die neue Differenz zum Mittelwert n gebildet werden.
Beispiel: Das Prüfprogramm beinhaltet 100 Testschritte. Wir nehmen an, wir testen 1000 Prüflinge. Wenn nun der Prüfling 1001 hinzugefügt wird, muss für jeden der Testschritte nun die Varianz ermittelt werden. Differenzbildung von den vorherigen 1000 und zusätzlich dem neuen Prüfling mit dem neuen Mittelwert der 1001 Ergebnisse – und das für 100 Ergebnisse.
Der Zeitaufwand wäre selbst bei schnellen Rechnern noch erbeblich. Betrachtungen über einen längeren Zeitraum wären damit nicht sehr praktikabel, wenn der Testbetrieb nicht blockiert werden soll.
Es gibt eine einfache rechnerische Lösung für dieses Problem. Die linke Formel ist allgemein bekannt. Für den automatischen Test in der Massenproduktion mit Echtzeitanspruch wird die rechte Formel verwendet.
In der weiteren Betrachtung überführen wir die Standardformel für die optimierte Nutzung in die Kalkulation per Verschiebungssatz.
Rechnerische Umwandlung der Varianz
Die Standardformel für die Varianz ist in wenigen Schritten umgewandelt. Es soll erreicht werden, dass der Wert eines neuen Prüflings inkrementell in das bestehende Ergebnis eingerechnet werden kann.
- Ausmultiplizieren der Klammer (xi-x Mittelwert)
- Anzahl n der Prüflinge ist bekannt
- Summe der Quadrate von xi ist für n-1 vorhanden
- Wert für Xn quadrieren und dem vorherigen Ergebnis bis n-1 hinzuaddieren
- Für die Ermittlung des Mittelwertes wird zu der Summe von X (n-1) der Wert von n hinzugerechnet und mit n der neue Mittelwert gebildet. Mittelwert von (n-1) multipliziert mit n-1 ergibt die Summe von X 1->n-1. Der neue Mittelwert wird quadriert und mit n multipliziert.
- Die weiteren Schritte, wie Differenzbildung und der anschließenden Multiplikation mit 1/n-1 ergeben die Varianz.
Gesamtbetrachtung und Zusammenführen von Losen
Wir wollen nun die gleiche Berechnung des Verschiebungssatzes für die Zusammenfassung von statistischen Daten von unterschiedlichen Losen anwenden.
- In der Datenablage sind dafür die folgenden Informationen vorhanden:
- Losgröße n Los1 (in unserem Beispiel 10)
- Losgröße n Los2 (in unserem Beispiel 10)
- Summe der Ergebnisse von Los1 (Sum xi)
- Summe der Ergebnisse von Los2 (Sum xi)
- Daraus wird nun der Mittelwert des Gesamtloses berechnet (mw)
- Mit der Summe der Losgrößen 1+2 wird in der Zwischenrechnung der Wert für (n * Mittelwert quadrat) ermittelt. (n*mw2)
- Summe der Quadrate der Ergebnisse von Los1 (su xi2)
- Summe der Quadrate der Ergebnisse von Los2 (su xi2))
- Diese werden addiert: (su xi2-Los1) (su xi2-Los2)= su xi2-gesamt
Die weitere Berechnung stehen nun alle Werte zur Verfügung:
- Gesamtlosgröße
- Summe der Messwerte
- Summe der Quadrate der Messwerte (Summe xi2)
- Summe der Quadrate der Mittelwerte (Summe mw2)
Diese Werte setzt man in die Formel ein, was zur Varianz und Standardabweichung des Gesamtloses führt.
Die Alternative zur Berechnung per Verschiebungssatz wäre die Auswertung mit der allgemeinen Formel für die Varianz.
Dazu müssen alle abgelegten Daten aller Prüflinge in einen Rechengang zusammengefasst werden. Da der Mittelwert sich von Prüfling zu Prüfling ändert, wäre eine Kalkulation nur am Ende der jeweiligen Testsitzung/Schicht möglich. Für eine Online-Betrachtung während der Produktion ist diese Vorgehensweise wie oben betrachtet eben nicht realistisch.
Ergebnisse im Vergleich
Die Ergebnisse der beiden Berechnungsarten sind identisch:
Berechnung per Verschiebungssatz
Normale Berechnung
