Varianz in Echtzeit ermitteln

Die Prozessparameter cp?…cpk?…cgm?…cgmk werden auf der Basis der Varianz und Standardabweichung ermittelt.

Da die Prozesskontrolle in der Produktion on-line erfolgen soll, ist die Berechnung der Varianz auch in Echtzeit zu ermitteln..

Änderung der Varianz von Prüfling zu Prüfling

Da sich dieser Wert aber von Prüfling zu Prüfling verändert, müssen alle vorherigen Berechnugen von Beginn an erneuert werden.

Die Berechnugn des neuen Mittelwertes ist noch relativ einfach, da nur zu der Summe der n-1 Werte der neue Wert von n hinzugerechnet werden und dann durch die neue Prüflingsanzahl n dividiert werden muss.

Jetzt müssen aber mit allen n Messwerten die neue Differenz zum Mittelwert n gebildet werden.

Beispiel: Das Prüfprogramm beinhaltet 100 Testschritte. Wir nehmen an, wir testen 1000 Prüflinge. Wenn nun der Prüfling 1001 hinzugefügt wird, muss für jeden der Testschritte nun die Varianz ermittelt werden. Differenzbildung von den vorherigen 1000 + dem neuen Prüfling mit dem neuen Mittelwert der 1001 Ergebnisse und das für 100 Ergebnisse.

Der Zeitaufwand wäre selbst bei schnellen Rechnern noch erbeblich. Betrachtungen über einen längeren Zeitraum wären damit nicht sehr sinnvoll, wenn der Testbetrieb nicht blockiert werden soll.

Es gibt nun eine einfache recherische Lösung für diesen Problem. Die linke Formel ist allgemein bekannt. Für den automatischen Test in der Massenproduktion mit Echtzeitanspruch wird die rechte Formel verwendet.

In der weiteren Betrachtung überführen wir die Standardformel für die weitere Nutzung in die Kalkulation für den Verschiebungssatz.


Rechnerische Umwandlung der Varianz

Die Standardformel für die Varianz wird mit wenigen Schritten umgewandelt.

  • Ausmultiplizieren der Klammer (xi-x mittelwert)
  • Nach einigen weiteren Schritten wird ein Ergebnis erreicht, bei dem die Werte eines neuen Prüflings nur zu den bestehenden Berechnungen hinzugefügt werden muss.
  • Die Anzahl n des aktuellen Prüflings ist bekannt.
  • Die Summe der Quadrate von xi ist für n-1 auch schon vorhanden.
  • Es muss der Wert für Xn quadriert und dem vorherigen Ergebnis bis n-1 hinzuaddiert werden.
  • Für die Ermittlung des Mittelwertes wird zu der Summe von X (n-1) der Wert von n hinzugerechnet und mit n der neue Mittelwert gebildet. Mittelwert von (n-1) mltipliziert mit n-1 ergibt die Summe von X 1->n-1.Der neue Mittelwert wird quadriert und mit n multipliziert.
  • Die weiteren Schritte, wie Differenzbildung und der anschließenden Multiplkation mit 1/n-1 ergibt die Varianz. Dies sind wenige überschaubare Rechenschritte, die auch problemlos in einen Produktionsablauf eingebunden werden können.

Gesamtbetrachtung und Zusammenführen von Losen

Wir wollen nun die gleiche Berechnung des Verschiebungssatzes für die Zusammenfassung von statistischen Daten von unterschiedlichen Losen anwenden.

  • In der Datenablage sind dafür die folgenden Informationen vorhanden:
    • Losgröße n Los1 (in unserem Beispiel 10)
    • Losgröße n Los2 (in unserem Beispiel 10)
    • Summe der Ergebnisse von Los1 (Sum xi)
    • Summe der Ergebnisse von Los2 (Sum xi)
  • Daraus wird nun der Mittelwert des Gesamtloses berechnet (mw)
  • Mit der Summe der Losgrößen 1+2 wird in der Zwischenrechnung der Wert für (n * Mittelwert quadrat) ermittelt. (n*mw2)
  • Summe der Quadrate der Ergebnisse von Los1 (su xi2)
  • Summe der Quadrate der Ergebnisse von Los2 (su xi2))
  • Diese werden addiert: (su xi2-Los1) (su xi2-Los2)= su xi2-gesamt

 

Die weitere Berechnung stehen nun alle Werte zur Verfügung:

  • Gesamtlosgröße
  • Summe der Messwerte
  • Summe der Quadrate der Messwerte (summe xi2)
  • Summe der Quadrate der Mittelwerte (summe mw2)

Diese Werte eingesetzt in die Formel führt zu den Werten von Varianz und Standardabweichung des Gesamtloses.


Die Alternative zu dieser Berechnungsvariante wäre die komplette Auswertung der Datenablage entsprechend der allgemeinen Formel für die Varianz.

Es müssen dazu alle abgelgten Daten aller Prüflinge in einem Rechengang zusammengelegt werden. Da der Mittelwert sich immer von Prüfling zu Prüfling ändert, wäre eine Kalkulation nur am Ende der jeweilgen Testsession möglich. Für eine Online Betrachtung in der Produktion ist diese Vorgehensweise nicht realistisch.

Deshalb sind die Ergebnisse der beiden Berechnungsarten absolut identisch, wie die folgende Kalkulation zeigt.